Korelacja, konkordancja i zgodność

Badanie powtarzalności może wykazać imponującą korelację, mimo że dwa pomiary systematycznie się różnią. Rozważmy celowo syntetyczne wektory X = [1, 2, 3] i Y = [2, 4, 6]. Każda wartość w Y jest dwukrotnością odpowiadającej jej wartości w X. Zależność jest doskonale liniowa, lecz oba pomiary nie są zamienne. Konieczność rozdzielenia korelacji od zgodności wynika właśnie z różnicy między tymi stwierdzeniami.

Zależność nie jest zgodnością

Korelacja mierzy, jak ściśle sparowane obserwacje układają się wzdłuż prostej. Zgodność odpowiada na pytanie, czy układają się wzdłuż prostej identyczności y = x. Systematyczne przesunięcie albo zmiana skali mogą pozostawić silną korelację, a jednocześnie powodować, że ponowny pomiar będzie konsekwentnie zawyżony lub zaniżony. W przypadku pomiaru, który ma być powtarzalny, taka różnica kalibracji nie jest szczegółem, który można ukryć w jednym współczynniku korelacji.

Arytmetyka uwidacznia to rozróżnienie. Dla X średnia wynosi (1 + 2 + 3) / 3 = 2, a dla Y wynosi (2 + 4 + 6) / 3 = 4. Już same średnie wskazują systematyczne przesunięcie. Odchylenia od średnich to [-1, 0, +1] i [-2, 0, +2]. Wektory mają ten sam wzorzec wokół swoich środków, lecz różny rozrzut.

Od momentów do korelacji Pearsona

W tym wyprowadzeniu wykorzystamy momenty populacyjne obliczone dla trzech zaobserwowanych par. Wariancja i kowariancja wynoszą

var(X) = sum((xi - mean(X))^2) / N = (1 + 0 + 1) / 3 = 2/3
var(Y) = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3
cov(X,Y) = sum((xi - mean(X))(yi - mean(Y))) / N = 4/3

Korelacja Pearsona eliminuje jednostki kowariancji:

r = cov(X,Y) / sqrt(var(X) * var(Y))
  = (4/3) / sqrt((2/3)(8/3))
  = 1.00

Wynik jest poprawny dla pytania, na które odpowiada r Pearsona. Ogólniej, Y = a + bX przy b > 0 daje r = 1 dla dowolnego przesunięcia a i dodatniej skali b. Wskazuje to na doskonałą dodatnią zależność liniową między obserwacjami; nie oznacza, że odczyty są zgodne co do wartości.

Zgodność z prostą identyczności

Współczynnik korelacji zgodności Lina (CCC) dodaje pytanie o kalibrację do pytania o korelację. Jego odniesieniem jest przechodząca przez początek układu prosta pod kątem 45 stopni, na której oba odczyty są równe. W często stosowanej postaci opartej na momentach populacyjnych:

             2 * cov(X,Y)
CCC = -------------------------------------
       var(X) + var(Y) + (mean(X) - mean(Y))^2

Mianownik zawiera składniki konkurujące ze wspólną zmiennością: rozrzut każdego wektora i kwadrat różnicy ich średnich. Kowariancja dostarcza wspólnej zmienności w liczniku. CCC można rozumieć jako miarę łączącą precyzję, reprezentowaną przez korelację, z karą za niezgodność położenia i skali. Jest przeznaczony do oceny zgodności z identycznością, a nie tylko do znalezienia dowolnej prostej pasującej do punktów.

Dla wektorów syntetycznych:

CCC = (2 * 4/3) / (2/3 + 8/3 + (2 - 4)^2)
    = (8/3) / (22/3)
    = 4/11 = 0.3636...

Otrzymujemy więc r = 1.00 oraz CCC = 4/11. Korelacja dostrzega doskonałą prostą; konkordancja dostrzega, że jest to prosta y = 2x, a nie y = x. W kontroli identyczności Y = [1, 2, 3] oba współczynniki wynoszą 1. W kontroli przez odbicie Y = [3, 2, 1] korelacja wynosi -1 i CCC wynosi -1: pomiary zmieniają się w przeciwnych kierunkach wokół tej samej średniej.

Wektory syntetyczne służą wyłącznie przedstawieniu definicji i nie są pomiarami biomarkera. Te wartości CCC nie są progami jakości ani klinicznymi wartościami referencyjnymi. Konwencja estymatora jest częścią kontraktu statystycznego, a sam współczynnik zgodności nie opisuje bezwzględnego błędu pomiaru w jednostkach cechy.

Konwencje estymatora i przypadki niezdefiniowane

Dzielenie przez N i dzielenie przez N - 1 odpowiadają na różne pytania o wariancję. Dla tego samego przykładu Y = 2X obliczenie oparte na momentach z N daje CCC = 4/11, natomiast użycie momentów próbki daje var(X) = 1, var(Y) = 4 i cov(X,Y) = 2, a więc CCC = 4/9. Arytmetyka nie jest argumentem za tym, że jedna konwencja jest zawsze poprawna. Jest argumentem za tym, że konwencję trzeba podać przed porównaniem wyników. Wspólne czynniki skali w korelacji Pearsona skracają się między licznikiem a mianownikiem; w CCC nie skracają się w ten sam sposób.

Współczynnik ma również rzeczywiste przypadki brzegowe. Dla mniej niż dwóch skończonych sparowanych obserwacji jest niezdefiniowany. Jeśli oba wektory są stałe i równe, mianownik wynosi zero: nie ma zmienności, na podstawie której można ocenić konkordancję, dlatego wynik musi pozostać niezdefiniowany, zamiast zostać po cichu zamieniony na 1. Jeśli oba wektory są stałe, ale różne, mianownik jest niezerowy, a CCC wynosi 0. Przypadki te należy raportować jako wyniki matematyczne albo wyniki kontroli jakości danych, a nie zastępować wygodną wartością.

CCC zależy ponadto od zmienności w sparowanej kohorcie. Ta sama bezwzględna różnica między skanami może dać różne wartości CCC w wąskim i szerokim zakresie wartości u osób badanych. CCC nie jest zatem modelem błędu bezwzględnego ani uniwersalnym progiem zaliczenia. W raporcie z badania powtarzalności należy uwzględnić jego przedział, sparowane różnice i rozrzut wokół prostej identyczności.

Następna sekcja odpowiada na pytanie, jak wyznaczyć niepewność takiego współczynnika dla skończonej kohorty: ponowne losowanie musi zachować parę obserwacji tej samej osoby.

Źródła

• Lin LI. A concordance correlation coefficient to evaluate reproducibility. Biometrics. 1989;45(1):255-268. doi:10.2307/2532051, PMID 2720055.
• Lane DM, Online Statistics Education, „Values of the Pearson Correlation” — otwarty podręcznik.
• Ye P, et al. BJR Open. 2022;4(1):20210083. doi:10.1259/bjro.20210083, PMID 36452056.